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Gruppenkohomologie
Gruppenkohomologie ist ein technisches Werkzeug der Mathematik, das ursprünglich der Untersuchung von Gruppen diente, später aber auch insbesondere in der Topologie und Zahlentheorie Anwendungen fand.
Inhaltsverzeichnis |
[Bearbeiten] Definition als abgeleiteter Funktor
Es sei eine endliche Gruppe. Der Funktor von der Kategorie der -Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen, der einem Modul die Untergruppe der unter invarianten Elemente zuordnet, ist linksexakt. Seine n-te Rechtsableitung ist die n-te Kohomologiegruppe von mit Koeffizienten in einem -Modul .
[Bearbeiten] Beziehung zu Ext
Die Gruppenkohomologie kann auch mithilfe des Funktors Ext definiert werden:
dabei ist der Gruppenring von und mit der trivialen -Operation versehen.
[Bearbeiten] Definition über Koketten
Aus der Beschreibung mithilfe des Funktors Ext ist ersichtlich, dass die Gruppenkohomologie mithilfe einer einmal gewählten projektiven Auflösung des trivialen -Moduls berechnet werden kann. Sie kann als explizit angegeben werden:
dabei ist
d.h. Index wird ausgelassen.
Die Gruppenkohomologie ist dann die Kohomologie des Komplexes mit
und
Die Elemente dieses Komplexes heißen homogene Koketten.
[Bearbeiten] Inhomogene Koketten
Die Bedingung der -Invarianz der Koketten erlaubt es, die Zahl der Kopien von um eins zu senken: die Gruppenkohomologie kann auch über den Komplex der inhomogenen Koketten definiert werden:
und
Beispielsweise ist
Die inhomogenen 1-Kozykel
heißen verschränkte Homomorphismen.
[Bearbeiten] Literatur
- Kenneth S. Brown: Cohomology of groups (= Graduate Texts in Mathematics 87). Corrected 2nd printing. Springer, New York u. a. 1994, ISBN 0-387-90688-6.
- George Janelidze, Bodo Pareigis, Walter Tholen (Hrsg.): Galois Theory, Hopf Algebras, and Semiabelian Categories (= Fields Institute Communications 43). American Mathematical Society, Providence RI 2004, ISBN 0-8218-3290-5.
- Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer, Berlin u. a. 1992, ISBN 3-540-54273-6.